有向 $\Theta_6$ 图的传递比为 5

给定有限集合 $P\subset\mathbb{R}^2$，有向 Theta-6 图记为 $\vec{\Theta}_6(P)$，是几何图论中一个被广泛研究的图 due to its close relationship with the Delaunay triangulation。$\vec{\Theta}_6(P)$-图的定义如下：将以 $u\in P$ 为 apex 的平面划分为 6 个等角锥，在每个锥中，$u$ 连接到其在锥的角平面上的投影最近的点。等价地，$\vec{\Theta}_6(P)$-图中，当且仅当 $\nabla_u^v$ 的内部与 $P$ 不相交时，才包含从 $u$ 到 $v$ 的边，其中 $\nabla_u^v$ 是唯一包含 $u$ 位于角落、$v$ 位于对侧且其边平行于锥边界的等边三角形。此前已证明 $\vec{\Theta}_6(P)$-图的传递比在 4 到 7 之间（Akitaya, Biniaz, and Bose \emph{Comput. Geom.}, 105-106:101881, 2022）。我们通过构建一个将长路径映射到收敛级数的下界模型，来缩小这一差距，证明其传递比为 5。这是一个里程碑式的成果——这是任何 $\vec{\Theta}_k(P)$-图传递比的第一个紧上界。我们的上界证明使用了几何图论领域新颖的技术。我们采用线性规划来证明，在多个候选路径中必然存在一条满足我们界限的路径。