关于Theta图紧界的进展

我们给出了至少六个锥的θ-图在跨度比上的改进上下界。给定平面上的点集，θ-图将每个顶点周围的平面划分为$m$个不相交的锥，每个锥的孔径为$\theta=2\pi/m$，并向每个锥中“最近”的顶点添加一条边。我们证明，对于任意整数$k \geq 1$，具有$4k+2$个锥的θ-图的跨度比为$1+2\sin(\theta/2)$，并给出了匹配的下界，表明该跨度比是紧的。接下来，我们证明对于任意整数$k \geq 1$，具有$4k+4$个锥的θ-图的跨度比至多为$1+2\sin(\theta/2)/(\cos(\theta/2)-\sin(\theta/2))$。我们还证明，具有$4k+3$和$4k+5$个锥的θ-图的跨度比至多为$\cos(\theta/4)/(\cos(\theta/2)-\sin(3\theta/4))$。这对于所有尚未知道精确界的θ-图族来说是一个显著的改进。例如，7锥θ-图的跨度比从至多7.5625降低到至多3.5132。这些跨度证明也改进了θ-路由算法竞争性的上界。特别地，我们证明θ-路由算法在具有$4k+4$个锥的θ-图上具有$(1+2\sin(\theta/2)/(\cos(\theta/2)-\sin(\theta/2)))$-竞争性，并且该比率是紧的。最后，我们给出了这些图跨度比的改进下界。利用这些界，我们给出了这些θ-图族的一个偏序。特别地，我们证明具有$4k+4$个锥的θ-图的跨度比至少为$1+2\tan(\theta/2)+2\tan^2(\theta/2)$。这有点令人惊讶，因为对于相同的$k$值，具有$4k+4$个锥的θ-图的跨度比大于具有$4k+2$个锥的θ-图的跨度比，表明增加锥的数量可能会使跨度比变差。