有序的代价

我们给出了大类有序 $\theta$-图生成比的紧界。$\theta$-图将每个顶点周围的平面划分为 $m$ 个不相交的锥，每个锥的孔径为 $\theta = 2 \pi/m$。有序 $\theta$-图通过逐个插入顶点并将每个顶点连接到每个锥中最近已插入的顶点来构造。我们证明，对于任意整数 $k \geq 1$，具有 $4k+4$ 个锥的有序 $\theta$-图具有紧生成比 $1 + 2 \sin(\theta/2) / (\cos(\theta/2) - \sin(\theta/2))$。我们还证明，对于任意整数 $k \geq 2$，具有 $4k+2$ 个锥的有序 $\theta$-图具有紧生成比 $1 / (1 - 2 \sin(\theta/2))$。我们为具有 $4k+3$ 和 $4k+5$ 个锥的有序 $\theta$-图提供了下界。对于具有 $4k+2$ 和 $4k+5$ 个锥的有序 $\theta$-图，这些下界严格大于其无序对应物的最坏情况生成比。这些是首项表明有序 $\theta$-图比无序 $\theta$-图具有更差生成比的结果。最后，我们展示，与无序对应物不同，具有4、5和6个锥的有序 $\theta$-图不是生成图（spanner）。