平行四边形Delaunay图的精确伸展比

寻找Delaunay图的精确伸展比一直是计算几何中长期未解决的问题之一。目前仅有四种凸形状的Delaunay图的精确伸展比已知：等边三角形、正方形、正六边形和矩形。在本文中，我们展示了平行四边形Delaunay图的精确伸展比，使平行四边形成为已知精确边界的第五种凸形状。最坏情况下的伸展比恰好为$$\frac{\sqrt{2}\sqrt{1+A^2+2A\cos(\theta_0)+(A+\cos(\theta_0))\sqrt{1+A^2+2A\cos(\theta_0)}}}{\sin(\theta_0)} .$$其中$A$是纵横比，$\theta_0$是平行四边形的非钝角。此外，我们展示了如何构造一个伸展比与上述伸展比匹配的平行四边形Delaunay图。