张量奇异 k 元组在边界格式之外的线性张成

格式为 $(n_1,\ldots,n_k)$ 的张量 $T$ 的一个奇异 $k$-元组本质上是距离函数从 $T$ 到格式为 $(n_1,\ldots,n_k)$ 且秩至多为一的张量锥上的约束的复临界点。一个一般张量具有有限多个复奇异 $k$-元组，其数目仅依赖于张量格式。此外，若我们固定前 $k-1$ 个维数 $n_i$，则一般张量的奇异 $k$-元组数目成为关于一个整变量 $n_k$ 的单调不减函数，并在 $(n_1,\ldots,n_k)$ 达到边界格式时稳定。本文研究一般张量的奇异 $k$-元组的线性张成。其维数也仅依赖于张量格式。我们特别地关注特殊的三阶张量以及格式为 $(2,\ldots,2,n)$ 的 $k$ 阶张量。作为结果，若再次固定前 $k-1$ 个维数 $n_i$ 并令 $n_k$ 增大，我们证明在这些特殊格式中，线性张成的维数也同样稳定，但在某个简洁的非子边界格式处。我们猜想该现象对任意 $k>3$ 的格式成立。最后，我们给出某些特殊非子边界格式的一般三阶张量 $T$ 的奇异三元组的线性张成的方程。由这些方程我们得出结论：$T$ 属于其奇异三元组的线性张成，并猜想这对每一种张量格式均成立。