迈向 Kruskal 张量分解定理的推广

Kruskal 定理指出,若乘积张量的所谓 k-秩足够大,则乘积张量之和构成唯一的张量秩分解。本文提出一个猜想,将 Kruskal 定理的 k-秩条件削弱为标准秩概念,并将结论放宽为关于乘积张量线性相关的陈述。我们的猜想意味着 Kruskal 定理的一个推广。已有的若干 Kruskal 定理的改编与推广仍无法在 k-秩低于某阈值时证明唯一性。我们的推广将包含其中若干结果,并能在低于该阈值时证明唯一性。我们在任意域 $\mathbb{F}$ 上证明了该猜想,当底层多部向量空间取以下三种形式之一时:${\mathbb{F}^{d_1}\otimes \mathbb{F}^{d_2}}, \;{\mathbb{F}^{d_1}\otimes\mathbb{F}^{d_2}\otimes \mathbb{F}^2,}$ 或 $\mathbb{F}^{d_1}\otimes \mathbb{F}^2 \otimes\cdots \otimes \mathbb{F}^2$。作为第三种情形的推论,我们证明若 $n$ 个乘积张量构成一个回路,则它们在至多 $n-2$ 个子系统中秩大于一。这相对于 Ballico 近期得到的界是二次改进,且是紧的。