张量分解的唯一性及其在多项式可识别性中的应用

我们给出了关于张量分解唯一性的著名 Kruskal 定理的一个鲁棒版本：我们证明，给定一个其分解满足 Kruskal 秩条件鲁棒形式的张量，如果该张量的已知误差足够小（逆多项式级别），则有可能近似恢复其分解。Kruskal 定理已在证明各种潜变量模型和混合模型（如隐马尔可夫模型、主题模型等）的参数可识别性方面得到了广泛应用。我们的鲁棒版本直接意味着在许多此类设置中，仅使用多项式数量的样本即可实现可识别性。这种多项式可识别性是迈向这些模型高效学习算法的关键第一步。最近，基于张量分解的算法已被用于在某些特殊情况下高效估计各种潜变量模型的参数，前提是它们满足特定的“非退化”性质。我们的方法提供了一种超越这种非退化障碍的途径，并在更温和的条件下建立了参数的多项式可识别性。鉴于 Kruskal 定理在张量文献中的重要性，我们预计这一鲁棒版本将在本文探讨的设置之外拥有多种应用。