张量与形式特定可识别性的有效判据

在出现张量秩分解的应用中，人们通常依赖其可识别性性质来解释分解中出现的各个秩 -1 项。文献中已提出多种可识别性判据，然而关于这些判据被满足的频率的研究却寥寥无几。我们提议，若一个判据在包含秩 -$r$ 张量集的最小半代数集的稠密开子集上被满足，则称该判据是有效的。我们分析了结合重塑（reshaping）操作的 Kruskal 判据的有效性。证明表明，该判据在其整个适用范围内对实张量和复张量均是有效的，而该范围通常远小于最小典型秩。我们的证明解释了基于重塑的张量秩分解计算算法在何时可望恢复该分解。将分析专门针对对称张量或形式，揭示了对于某些小维度的三阶、四阶和六阶对称张量以及次数至少为三的二元形式，重塑后的 Kruskal 判据甚至可有效至最小典型秩。我们通过分析 Hilbert 函数将此结果推广至 $4 \times 4 \times 4 \times 4$ 对称张量，从而得到了一个有效至对称秩 8 的对称可识别性判据，这是最优的。