非素数有限域上反火山问题的可解性

对于有限域$\mathbf{F}_{p^k}$和素数$\ell \neq p$，考虑$\ell$同态椭圆曲线在$\mathbf{F}_{p^k}$上的图$G$。Kohel证明$G$的连通分量具有显著的结构，称为$\ell$火山图。Bambury、Campagna和Pazuki研究了反火山问题：给定火山图$V，是否可以在$\mathbf{F}_{p^k}$上找到其作为$G$的连通分量？他们在$\mathbf{F}_p$上给出了完整的正答案，并在$\mathbf{F}_{p^2}$上描述了一个具体的反例。本文概括了Bambury-Campagna-Pazuki的结果，为$\mathbf{F}_{p^k}$上的反火山问题提供了精确框架。对于深度为$d$的$\ell$火山图$V$，问题的可解性通常由$d$与$k$的$\ell$价值$r$之间的关系决定。当$r$相对于$d$较小时，我们证明存在无数素数$p$解决V的反问题。当$r$相对于$d$较大时情况更为微妙：在许多情况下我们证明V的反问题不可解；在另一些情况下问题看似可解，但我们的证明取决于虚二次域类群的Cohen-Lenstra heuristics的一个变体。我们提供一些支持这些修改heuristics的计算证据。