局部共形平坦流形上的数量曲率形变方程

我们研究局部共形平坦紧流形 $(M^n,g)$ 上的方程 $\Delta_g u -\frac{n-2}{4(n-1)}R(g)u+Ku^p=0 (1+\zeta \leq p \leq \frac{n+2}{n-2})$。我们证明如下：(i) 当数量曲率 $R(g)>0$ 且维数 $n \geq 4$ 时，在 $K$ 的适当条件下，所有正解 $u$ 具有一致的上界与下界；(ii) 当数量曲率 $R(g)\equiv 0$ 且 $n \geq 5$ 时，在 $K$ 的适当条件下，所有能量有界的正解 $u$ 具有一致的上界与下界。我们还给出一个例子说明 math.DG/0602636 中一致估计的能量有界条件是必要的。