具有非零边界条件的 Sasa-Satsuma 方程

本文致力于具有 $3\times 3$ 矩阵谱和非零边界条件的 Sasa-Satsuma 方程的逆散射变换。为避免特征值的多值性,我们引入合适的双叶黎曼曲面将原谱参数 $k$ 映射为单值参数 $z$。详细分析了 SS 方程 Lax 对的 Jost 本征函数和散射系数的解析性。根据本征函数和散射系数的解析性,将 $z$ 复平面划分为四个解析区域 $D_j, \ j=1, 2, 3, 4$。由于 Jost 本征函数的第二列在 $D_{j}, \ j=1, 2, 3, 4$ 中解析,但分别在上半或下半平面,我们引入某些辅助本征函数,它们对推导 $D_{j}$ 中的解析本征函数是必要的。我们发现本征函数、散射系数和辅助本征函数均具有三类对称性,它们刻画了离散谱的分布。还系统地推导了本征函数、辅助本征函数和散射系数的渐近行为。随后建立了与该非零渐近边界条件问题相关的具有四类跳跃条件的矩阵黎曼-希尔伯特问题,由此通过相应重构公式得到 $N$-孤子解。明确给出了无反射孤子解。作为 $N$-孤子公式的应用,我们根据离散谱的分布给出了三类单孤子解。