对称群在 m-Tamari 区间上的表示

一个大小为 n 的 m-选票路径是方格网格上由北和东单位步组成的路径，从 (0,0) 开始，在 (mn,n) 结束，且从不低于直线 {x=my}。这些路径的集合可以配备一个格结构，称为 m-Tamari 格，记为 T_n^{m}，它推广了当 m=1 时得到的通常的 Tamari 格 T_n。该格由 F. Bergeron 引入，与三组 n 个变量的对角余不变空间的研究有关。对称群 S_n 在这些空间上的表示被推测与 S_n 在 m-Tamari 格的（标记）区间上的自然表示密切相关，本文即研究后者。T_n^{m} 的一个区间 [P,Q] 是标记的，如果 Q 的北步从 1 到 n 标记，使得标签沿任何连续北步序列递增。对称群 S_n 通过标签的置换作用于 T_n^{m} 的标记区间上。我们证明了由 F. Bergeron 和第三作者猜想的一个关于 S_n 的伴随表示的特征的显式公式。特别地，该表示的维数，即大小为 n 的标记 m-Tamari 区间的个数，被证明为 (m+1)^n(mn+1)^{n-2}。这些结果是新的，即使当 m=1 时也是如此。这些数字的形式暗示了与停车函数的联系，但我们的证明不是双射的。起点是 m-Tamari 区间的递归描述。它导出了一个关于关联生成函数的方程，该生成函数是表示的 Frobenius 级数的精炼版本。该方程涉及两个额外变量 x 和 y，关于 y 的导数以及关于 x 的迭代差分。证明中最困难的部分是求解该方程，我们开发了原创技术来做到这一点，部分受到先前关于“催化”变量多项式方程工作的启发。