与格点路径、差分算子预解式及随机多项式相关的矩阵连分式

我们以研究平面上的两类格点路径集合 $\mathcal{D}_{[n,i,j]}$ 和 $\mathcal{P}_{[n,i,j]}$ 作为分析的起点。这些路径由 $n$ 步序列组成，每步允许沿三个方向移动：向上（最大位移 $q$ 个单位）、向右（恰好一个单位）或向下（最大位移 $p$ 个单位）。路径从点 $(0,i)$ 出发，终止于点 $(n,j)$。在集合 $\mathcal{D}_{[n,i,j]}$ 中，一个关键约束是路径绝不可低于 $x$ 轴，而在集合 $\mathcal{P}_{[n,i,j]}$ 中，路径无此限制。我们对两类集合中的每条路径赋予权值，并引入相应的权多项式与生成级数。我们的主要结果表明，与这些生成级数关联的某些 $q\times p$ 矩阵可表示为矩阵连分式。这些结果推广了 P. Flajolet 与 G. Viennot 在标量情形 $p=q=1$ 下的重要贡献。这些生成级数也可解释为有限阶单侧或双侧差分算子的预解式。此外，我们分析了一类随机带状矩阵 $H$，其具有 $p+q+1$ 条对角线，条目为独立且有界的随机变量，且沿对角线具有相同的分布。我们研究了当 $n$ 趋于无穷时，$H$ 的 $n\times n$ 主截断的特征值矩期望的渐近行为。