格路径、向量连分数与带状 Hessenberg 算子的预解式

我们给出了向量连分数的组合解释，该解释通过将 Jacobi-Perron 算法应用于一个由 $p\geq 1$ 个阶为 $p+1$ 的带状 Hessenberg 算子的预解函数组成的向量而得到。该解释在于将预解函数幂级数展开中的系数识别为与上半平面中 Lukasiewicz 格路径相关联的权多项式。在标量情形 $p=1$ 下，这化简为 P. Flajolet 和 G. Viennot 所建立的 Jacobi-Stieltjes 连分数、其幂级数展开与 Motzkin 路径之间的关系。我们考虑三类格路径，即上半平面中的 Lukasiewicz 路径、其在下半平面中的对称镜像，以及第三类允许跨越 $x$ 轴的无限制格路径。我们通过相关联的生成幂级数之间的关系建立了这三类路径族之间的联系。我们还讨论了由部分 $p$-Dyck 路径构成的 Lukasiewicz 路径子集合，其权多项式在文献中被称为遗传和或广义 Stieltjes-Rogers 多项式，并表达了双对角 Hessenberg 算子的某些矩。