一类无穷吸附模型族与受限 Lukasiewicz 路径

我们定义了 $(k,\ell)$-受限 Lukasiewicz 路径，其中 $k\le\ell\in\mathbb{N}_0$，并将这些路径用作聚合物吸附的模型。我们写出了对于任意 $(k,\ell)$ 值生成函数所满足的多项式表达式。所得多项式的次数为 $\ell+1$，因此对于足够大的 $\ell$ 无法显式求解。我们提供了两种不同的方法来获得相图。除了更常规的分析外，我们还发展了一种新的相图数学表征，该表征基于多项式的判别式及其最高次项系数的一个零点。然后，我们给出了 $(k,\ell)$-受限 Lukasiewicz 路径与“上升”-受限 Dyck 路径之间的一个双射，从而确定了另一族具有相同临界行为的路径模型。对于 $(k,\ell)=(1,\infty)$，我们提供了一个到 Motzkin 路径的新双射。我们还考虑了面积加权生成函数，并证明它是一个 q-形变代数函数。我们显式地确定了 $(k,\ell)$-受限 Lukasiewicz 路径特定情形下的生成函数，并且对于 $(k,\ell)=(0,\infty)$，我们提供了一个到 Dyck 路径的双射。