Motzkin多联骨牌的组合学

正整数集上的一个词 $w=w_1\cdots w_n$ 称为Motzkin词，若满足 $w_1=\texttt{1}$，对 $k=2, \dots, n$ 有 $1\leq w_k\leq w_{k-1}+1$，且 $w_{k-1}\neq w_{k}$。它可以关联到一个 $n$ 列的Motzkin多联骨牌，其第 $i$ 列包含 $w_i$ 个单元格，且所有列底部对齐。我们揭示了Motzkin路径、受限Catalan词、原始Łukasiewicz路径与Motzkin多联骨牌之间的双射联系。利用上述双射以及避免 $UDU$ 的Dyck路径的经典一一对应，我们提供了关于Motzkin多联骨牌的长度、面积、半周长、末位符号值及内部点数的生成函数。我们给出了给定长度的所有Motzkin多联骨牌的总面积、总半周长、末位符号值之和以及内部点总数的渐近表达式与闭式公式。我们还提出并证明了一个关于位于不同层的单元格数量与展开式 $(1+x+x^2)^n$ 首项之间关系的引人入胜的三项式关系。