计数 Tamari 格与 m-Tamari 格中的较小元素

我们引入了新的组合对象——区间偏序集 (interval-posets)，用于编码 Tamari 格的区间。随后，我们找到了 Chapoton 描述的 Tamari 区间函数方程中出现的双线性算子的组合解释。因此，我们恢复了该函数方程，并证明了从每棵树 T 上的双线性算子递归计算出的多项式，计数了 Tamari 序中小于 T 的树的数量。接着，我们展示了类似的 $m + 1$ 线性算子也用于 $m$-Tamari 区间的函数方程中。我们解释了如何将 $m$-Tamari 格解释为 $m+1$ 叉树或某一类二叉树。然后，我们利用区间偏序集恢复了 $m$-Tamari 区间的函数方程，并证明了一个广义公式，该公式计数了 $m$-Tamari 格中小于或等于给定树的元素数量。