置换多面体、结合多面体及其相关结构的组合学

我概述了过去十年在代数、双射、计数和几何组合学方面所进行的研究。我研究的两个主要对象是置换多面体和结合多面体，以及它们相关的两个偏序：置换上的弱序和 Tamari 格。本文档包含对这些对象的通用介绍（第 1 和 2 章），所需预备知识极少，应可供如硕士生等非专家读者理解。第 3 至 8 章介绍了我所进行的研究及其总体背景。您将发现：* 对 Tamari 区间当前知识的介绍，以及我所引入的 Tamari 区间偏集族及其上升-接触对合的精确描述，用以证明 Tamari 区间中上升与接触的对称性；* 我关于 Catalan 对象和 Tamari 区间在三角划分相关的 q, t-计数的最新结果；* 整数偏集格与整数偏集 Hopf 代数的描述及其与代数组合学中已知结构的关系；* 置换树格、置换树 Hopf 代数和置换树多面体的构造；* s-弱序和 s-置换多面体以及 s-Tamari 格和 s-结合多面体的构造。第 9 章致力于组合学研究中与 SageMath 软件相关的实验方法。第 10 章描述了我所参与的科普工作以及我对数学知识和包容的一些看法。