$m$-Dyck 路径的条带分解

由 Bergeron 和 Pr{\'e}ville-Ratelle 引入的 $m$-Tamari 格 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 被定义为装备了广义旋转序的 $m$-Dyck 路径偏序集，构成了经典 Tamari 格 $\mathcal{T}_{n}$ 的 Fuss-Catalan 推广。虽然对于 $\mathcal{T}_{n}$ 已知许多组合实现，但迄今为止尚无 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 的其他组合实现。在本文中，我们引入了一种将 $m$-Dyck 路径分解为 Dyck 路径 $m$-元组的方法，并在对这些 $m$-元组进行特定修改后，猜想所得的 Dyck 路径 $m$-元组将 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 实现为 $\mathcal{T}_{n}$ 与其自身 $m$ 重直积的诱导子偏序集。我们证明了该猜想在 $n\leq 3$ 时成立，并给出了 Dyck 路径 $m$-元组属于此实现的必要条件。然而，对于 $n\geq 5$，尚不知晓充分条件。