Tamari 格的推广

对于方格网上任意一条由向北和向东单位步组成且始于 (0,0) 的有限路径 $v$，我们构造了一个偏序集 Tam$(v)$，其元素为所有弱位于 $v$ 上方且具有与 $v$ 相同向北和向东步数的路径。对于 $v$ 的特定选择，我们恢复了传统的 Tamari 格和 $m$-Tamari 格。令 $\overleftarrow{v}$ 为通过逆序读取 $v$ 的单位步并将向东步替换为向北步、反之亦然而得到的路径。我们证明了偏序集 Tam$(v)$ 同构于偏序集 Tam$(\overleftarrow{v})$ 的对偶。为此，我们通过双射证明了偏序集 Tam$(v)$ 同构于基于具有固定冠 $v$ 的满二叉树旋转的偏序集，由此可轻易导出对偶性。这也表明对于任意路径 $v$，Tam$(v)$ 都是一个格。作为该双射的一个推论，我们还得出基于高度为 $n$ 的 Dyck 路径的传统 Tamari 格是较小格 Tam$(v)$ 的一个划分，其中 $v$ 取遍方格网上所有由 $n-1$ 个单位步组成的路径。我们阐述了偏序集 Tam$(v)$ 与对称群的广义对角不变量空间（及其组合学）之间可能存在的联系。