谎言数固定的 Renyi-Ulam 病态说谎者博弈

在集合 $[n]:=\{1,...,n\}$ 上的 $q$ 轮、含 $k$ 个谎言的 Renyi-Ulam 病态说谎者博弈是一个二人完全信息零和博弈。每轮中 Paul 选择一个子集 $A\subseteq [n]$，Carole 将 1 个谎言分配给 $A$ 的每个元素或 $[n]\setminus A$ 的每个元素。若 $q$ 轮后至少有一个元素带有 $k$ 个或更少的谎言，则 Paul 获胜。该博弈与原 Renyi-Ulam 说谎者博弈对偶，后者的获胜条件是至多一个元素带有 $k$ 个或更少的谎言。我们将 Paul 的获胜策略之存在性归约为用某些松弛 Hamming 球覆盖离散超立方体之存在性。定义 $F^*_k(q)$ 为使得 Paul 能在初始集合 $[n]$ 上赢得 $q$ 轮、$k$ 谎言的病态说谎者博弈的最小 $n$，我们精确地求出 $F^*_1(q)$ 与 $F^*_2(q)$。对固定的 $k$，我们证明 $F_k^*(q)$ 与球面界 $2^q/\binom{q}{\leq k}$ 相差一个绝对常数（仅依赖于 $k$）；这对于原 Renyi-Ulam 说谎者博弈由 J. Spencer 的一个结果已知成立。