集合宇宙上的一个博弈

在没有正则公理的集合论中,我们考虑一个博弈,其中两名玩家轮流选取一个给定集合的元素、该元素的元素,依此类推;若对手无法进行下一步移动,则一名玩家获胜。那些胜出的集合,即某玩家有获胜策略的集合,构成一个以序数为指标的层级的自然分层。我们证明遗传胜出集合类是一个包含所有良基集合的内模型,并且宇宙、遗传胜出集合类与良基集合类之间的全部四种可能关系都是一致的。我们描述了一类序数,使得如下情形是一致的:无极小元的胜出集合恰位于由该类序数所指标的层级中。对于一致性结果,我们提出一种获得非良基模型的新方法。最后,我们通过证明在遗传有限良基集合上第一名玩家几乎总是获胜,建立了一个概率结果。