关于带受限规模查询的 Rényi-Ulam 博弈

我们研究著名的 Rényi-Ulam 博弈的如下版本。两名玩家——提问者与应答者——相互对抗。应答者想定集合 $\{1,\ldots,n\}$ 中的一个数，提问者必须找出这个数。为此，他可以询问一个至多含 $k$ 个元素的选定集合是否包含所想的数。应答者立即以是或否回答，但在博弈过程中，他至多可以说谎 $\ell$ 次。提问者为确保找出未知元素所需的最少查询数记为 $RU_\ell^k(n)$。首先，我们开发了一个我们称之为凸性引理的高效工具。利用该引理，我们给出了 $RU_\ell^k(n)$ 的一般下界，以及一个与上界相差至多 $2\ell+1$ 的上界。我们还给出了当 $n$ 相对于 $k$ 足够大时的精确值。借此，我们改进并推广了 Meng、Lin 和 Yang 在 2013 年关于 $\ell=1$ 情形的论文中所获得的结果。