谎言的熵：与说谎者玩二十问游戏

「二十问」是一款由两名玩家进行的猜数游戏：Bob 想一个介于 $1$ 和 $n$ 之间的整数，Alice 的目标是用最少的 Yes/No 问题将其恢复。香农熵在此背景下有自然的解释。它刻画了该游戏分布变体中最优策略所用的平均问题数：设 $\mu$ 为 $[n]$ 上的一个分布，则恢复 $x\sim \mu$ 的最优策略所用的平均问题数介于 $H(\mu)$ 和 $H(\mu)+1$ 之间。我们考虑该游戏的一个扩展，其中至多 $k$ 个问题可被虚假回答。我们推广了经典结论，证明最优策略使用约 $H(\mu) + k H_2(\mu)$ 个问题，其中 $H_2(\mu) = \sum_x \mu(x)\log\log\frac{1}{\mu(x)}$。这也将 Rivest 等人对均匀分布的结果进行了推广。此外，我们设计了仅使用形如 `$x \leq c$?'（$c\in[n]$）的比较查询的近最优策略。比较查询的使用自然地契合排序的背景，我们由此推导了在存在对抗噪声情况下的排序算法。