基于非Hermitian正交多项式的 $q^{\mathrm{Volume}}$ 劣形瓦片模型

我们考虑 $q^\text{Volume}$ 在大型有限六边形上的劣形瓦片铺设模型。众所周知，随机劣形瓦片铺设对应于通过与非相交路径集合的双射映射到二维行列式点过程。我们的分析起点是 Duits 和 Kuijlaars 所给出的相关核公式，该公式涉及特定非Hermitian正交多项式的Christoffel-Darboux核。我们的主要结果分为两个部分：第一个部分涉及正交多项式族，第二个部分涉及边界行为。第一个部分中，我们将正交多项式识别为 little $q$-Jacobi 多项式的一个非标准实例，并计算其在 $q \to 1$ 极限下的大度数渐近形式。这一分析的一个结果是证明正交多项式的零点在圆的弧上聚集，并给出Christoffel-Darboux核的渐近公式。在第二个部分中，我们利用这些渐近形式表明，液体区域的边界在六边形边界处以有限维分布意义下收敛于 Airy 过程。在劣形曲线的拐点处，我们指出无需对Airy线型集合增减抛物线，这一效应在切向方向上可持续到距离为 $o(N^{-2/9})$ 的距离。