Kontsevich 关于非交换双有理变换周期性猜想的证明

对于任意含幺结合环 $R$，设 $J_1$ 和 $J_2$ 为 $R$ 上 $3\times 3$ 矩阵集合 $M_3(R)$ 上的以下非交换双有理部分定义对合：$J_1(M)=M^{-1}$（通常的矩阵逆）和 $J_2(M)_{jk}=(M_{kj})^{-1}$（Hadamard 逆的转置）。我们证明了 Kontsevich 提出的一个令人惊讶的猜想，即 $(J_2\circ J_1)^3$ 在可逆对角矩阵对 $(D_1,D_2)$ 的作用 ${\rm Diag}_{L} \times \rm{Diag}_R$（定义为 $(D_1,D_2)(M)=D_1^{-1}MD_2$）下是恒等映射。也就是说，我们证明了对于 $(J_2\circ J_1)^3$ 有定义的域中的每个 $M$，都存在可逆的 $3\times 3$ 对角矩阵 $D_1=D_1(M)$ 和 $D_2=D_2(M)$，使得 $(J_2\circ J_1)^3(M)=D_1^{-1}MD_2$。