对称张量的特征值之积

我们研究有限维欧几里得向量空间 $V$ 上 $d$ 次对称张量 $f$ 的 E-特征值及其与 $f$ 的 E-特征多项式的关系。我们证明,当 $f$ 的 E-特征多项式具有最大次数时,其首项系数为 $\widetilde{Q}$-判别式 的 $(d-2)$ 次幂(当 $d$ 为奇数时)或 $((d-2)/2)$ 次幂(当 $d$ 为偶数时),其中 $\widetilde{Q}$ 是各向同性二次曲面 $Q\subseteq\mathbb{P}(V)$ 的 $d$ 次 Veronese 嵌入。这一事实,连同关于 $f$ 的 E-特征多项式常数项的已知公式,给出了 $f$ 的 E-特征值之积的闭式公式,该公式推广了对称矩阵的行列式等于其特征值之积这一事实。