强傅里叶采样的威力：仿射群与隐藏偏移的量子算法

许多量子算法，包括 Shor 著名的因数分解与离散对数算法，都通过归约为隐藏子群问题而展开，其中必须从一个在 H 的左陪集上的均匀叠加态确定群 G 的未知子群 H。这些隐藏子群问题通常通过傅里叶采样求解。当 G 非阿贝尔时，已识别出傅里叶采样的两个重要变体：弱标准方法（仅测量表示名）与强标准方法（发生完全测量，即在适当选取基中的表示的行与列）。强标准方法是否确实更强这一问题一直未决。本文中我们肯定地解决了该问题。我们表明，q-hedral 群（即半直积 Z_q \ltimes Z_p，其中 q | (p-1)）的隐藏子群 H，特别是仿射群 A_p，可利用强标准方法在信息论上重建。此外，若 |H| = p/ \polylog(p)，这些子群可用多项式量的量子与经典计算完全重建。我们表明，对某些 q，即使是信息论上，“遗忘式”阿贝尔方法与在随机基中测量也不成功。因此，至少对某些群，利用表示论的完整体量是关键的：即在尊重群子群结构的适配基中测量高维表示。我们将隐藏子群问题的算法应用于新的密码学驱动的隐藏偏移问题族，推广了 van Dam、Hallgren 和 Ip 关于乘性特征偏移的工作。