求解二次型与大Gowers范数函数隐藏移位问题的量子算法

大多数相对于经典算法具有指数加速效果的量子算法都以某种方式利用了傅里叶变换。在Shor算法中，对量子傅里叶谱的采样被用于发现模指数函数的周期性。作为这一思想的推广，量子傅里叶采样可以比经典方法更高效地发现某些函数的隐藏子群结构。傅里叶变换在量子计算机上成功应用的另一个问题是隐藏移位问题。隐藏移位问题的量子算法通常与隐藏子群算法略有不同，因为它们利用傅里叶变换与给定的参考函数进行相关运算，而不是直接对傅里叶谱进行采样。在本文中，我们证明对于二次型布尔函数，可以高效地提取其隐藏移位。我们还展示了如何用线性数量的查询来识别n个变量上的未知二次型，而经典情形下则需要Θ(n^2)次黑箱查询。更重要的是，我们证明我们的量子算法具有鲁棒性，即当函数接近二次型时——这里我们将一个布尔函数定义为接近二次型，如果它具有大的Gowers U_3范数——该算法也能推断出移位。