区分不同权重的布尔函数的量子算法

我们利用数据库搜索算法的 Grover 算子用于权重判定算法。本研究中，权重判定问题是从给定的两个权重 $w_1$ 和 $w_2$（其中 $w_1+w_2=1$ 且 $0<w_1<w_2<1$）中找出确切权重 $w$。首先，若给定一个布尔函数且权重为 $\{1/4,3/4\}$，我们仅应用一次 Grover 算子即可找出 $w$。其次，若应用 $k$ 次 Grover 算子，我们可从权重集合 $\{\sin^2(\frac{k}{2k+1}\frac{\pi}{2}), \cos^2(\frac{k}{2k+1}\frac{\pi}{2})\}$ 中判定 $w$。最后，通过将最后两次 Grover 算子替换为两个相位条件，我们可从任意给定的两个权重集合中判定 $w$。为了以必定成功的方式判定 $w$，若量子算法需要 $O(k)$ 次 Grover 步骤，则已知最佳经典算法需要 $\Omega(k^s)$ 步，其中 $s>2$。因此该量子算法实现了至少二次加速。