量子隐子群问题：数学视角

本文的最终目标是为开发新量子算法铺设基石。所择策略始于聚焦阿贝尔量子隐子群算法类，即 Shor/Simon 类型的阿贝尔算法类。我们的策略是使此类算法在数学上尽可能透明。所谓“数学上透明”，意指揭示、浮显并明示作为此类算法固有且根本部分的隐藏数学结构。由此，我们创造出符号化阿贝尔量子隐子群算法，类比于 Axiom、Cayley、Maple、Mathematica 与 Magma 等软件包中的符号算法。作为此项工作的副产品，我们创造出 Shor 量子分解算法到有限秩自由阿贝尔群的三种不同推广。称这些算法为漫游（或复古 Z_Q）Shor 算法。它们本质上是有限秩 n 自由阿贝尔群 A 上的量子算法，每次迭代先随机选群 A 的循环直和项 Z，再施标准 Shor 算法一次以产生所谓群探针的“逼近”有限群 A=Z_Q 的随机特征。这些特征转而用于求隐商群 H_phi 的极大循环子群 Z_P 的阶 P，或整个隐商群 H_phi。这些漫游量子算法的组成部分为选取一种极特殊的随机横截，我们称之为 Shor 横截。首个漫游 Shor 算法的算法时间复杂度得为 O(n^2(lgQ)^3(lglgQ)^(n+1))。