通用群上西蒙问题的量子算法
量子物理
2007-05-23 v2
摘要
Daniel Simon 在 1994 年发现了一种求解 Z_2^n 上隐藏子群问题（HSP）的高效量子算法，这为量子计算机比经典计算机指数级更快的代数问题提供了首批例子之一。在本文中，我们研究西蒙问题向任意群的推广。给定有限群 G，该问题是从 oracle f 恢复 G^n 中的对合 m = (m_1, ..., m_n)，其性质为 f(x) = f(xy) 当且仅当 y 等于 m 或单位元。用当前的术语说，这是形如 G^n 的群上的隐藏子群问题，其中 G 是常阶非阿贝尔群，且隐藏子群或是平凡的或阶为二。尽管形如 G^n 的群具有简单的积结构，它们与对称群 S_n 共享重要的表示论性质，而 S_n 上 HSP 的求解将给出图同构的量子算法。特别地，用所谓的“标准方法”求解其 HSP 需要对许多陪集态的张量积进行高度纠缠的测量。此处我们给出时间复杂度为 2^O(sqrt(n log n)) 的量子算法，可恢复 G^n 中隐藏的对合 m = (m_1, ..., m_n)，其中如同西蒙问题，每个 m_i 或是单位元或是已知元素 k 的共轭，且存在 G 的特征标 X 使得 X(k) = -X(1)。我们的方法将 Kuperberg 针对二面体群的筛法的一般思想与 Moore 和 Russell 的“缺失调和”方法相结合。这些是首批针对需要高度纠缠多寄存器傅里叶采样的群族的 nontrivial 隐藏子群算法。
引用
@article{arxiv.quant-ph/0603251,
title = {Quantum Algorithms for Simon's Problem Over General Groups},
author = {Gorjan Alagic and Cristopher Moore and Alexander Russell},
journal= {arXiv preprint arXiv:quant-ph/0603251},
year = {2007}
}