傅里叶采样中随机基的威力：海森堡群中的隐子群问题

隐子群问题（HSP）为研究量子计算中具群论性质的问题（如求阶和离散对数问题）提供了统一框架。虽然已知在阿贝尔情形下傅里叶采样给出高效解，但对一般非阿贝尔群所知甚少。近来，一些作者提出对傅里叶谱通过随机正交基中的测量进行后处理是否有助于求解 HSP 的问题。关于该随机强方法局限性的若干负面结果已知。然而在本文中，我们表明在某些关于群 G 的条件下随机强方法可以相当强大。我们为群 G 定义一个参数 r(G)，并证明 O((log |G| / r(G))^2) 次迭代的随机强方法给出足以识别 G 中隐子群的经典信息。我们通过有限海森堡群上 HSP 的具体例子说明了随机强方法的威力。我们证明对这些群 r(G) = Ω(1)；因此 HSP 可用多项式多次随机强傅里叶采样，辅以可能的指数级经典后处理而无进一步查询来求解。我们算法的量子部分由多项式计算及在随机正交基中的测量组成。这给出了首个群的例子，其中随机表示基有助于求解 HSP，且不存在已知的用 (log G)^O(1) 次傅里叶采样求解该问题的显式表示基。作为我们工作的有趣副产品，我们得到一个求解近正交纯量子态集合的状态识别问题的算法。