由持久多环分岔出的极限环的周期

我们考虑平面多项式向量场的光滑族$\{X_\mu\}_{\mu\in\Lambda}$，其中$\Lambda$是$\mathbb{R}^N$的开子集，且存在一个双曲多环$\Gamma$是持久的(即沿该族没有任何分界线连接被破坏)。众所周知，在此情形下$\Gamma$在$\mu_0$处的循环数为零，除非其图形数$r(\mu_0)$等于一。同样熟知的是，若$r(\mu_0)=1$(且返回映射上某些generic条件被验证)，则$\Gamma$在$\mu_0$处的循环数为一，即从$\Gamma$恰好分岔出一个极限环。本文证明该极限环以指数速度逼近$\Gamma$，且其周期当$\mu\to\mu_0$时以$1/|r(\mu)-1|$趋于无穷。此外，我们证明若那些generic条件不满足，尽管循环数可能恰为1，极限环周期的行为却无法确定。