关于 Kolmogorov 多环的环性

本文研究平面多项式 Kolmogorov 微分系统 $$X_\mu\quad\sist{xf(x,y;\mu),}{yg(x,y;\mu),}$$ 其中参数 $\mu$ 在开子集 $\Lambda\subset\R^N$ 中变化。将 $X_\mu$ 紧化到 Poincaré 圆盘,第一象限的边界是一个不变三角形 $\Gamma$,我们假定对所有 $\mu\in\Lambda$ 它都是一个双曲多环,其三个顶点恰为鞍点。我们关注 $\Gamma$ 在族 $\{X_\mu\}_{\mu\in\Lambda}$ 内的环性,即随着扰动 $\mu$ 而从 $\Gamma$ 分岔出的极限环个数。在我们的主要结果中,我们定义了三个函数,它们对多环环性所起的作用等同于前三个 Lyapunov 量对焦点环性所起的作用。作为一个应用,我们研究两个三次 Kolmogorov 族,分别有 $N=3$ 和 $N=5$,并在两种情形下都能确定对所有 $\mu\in\Lambda$ 的多环环性,包括沿 $\Gamma$ 的回归映射为恒等映射的那些参数。