无穷之悖论

设 $E$ 是一个无限集，其上定义了一个性质 $(\bf P)$。假设 $E=\cup_{i\in I} E_i$ 是一个划分，其中每个 $E_i$ 都是无限的。又假设在每个 $E_i$ 中，满足 $(\bf P)$ 的元素个数是有限的。那么，显然在每个 $E_i$ 中满足 $(\bf P)$ 的元素的密度都是 0。是否可能包含全部满足 $(\bf P)$ 的元素的 $E$ 的子集的密度至少等于 $1/2$？我们在阅读 Arno 等人 [1] 的论文时首次遇到这种情况。事实上，正是在论文 [1] 中证明了 $\overline{\mathbb{Q}}$ 中某类代数数的密度等于 $1/\zeta(3)$，我们将在第 5 节称之为 Arno 等人数。我们以某种方式对 $\overline{\mathbb{Q}}$ 进行划分，暗示这些 Arno 等人数是稀有的。这一现象令我们感到矛盾，从而促使我们更详细地考察该情形。我们将在后续通过两个例子表明，上述问题的答案可能是肯定的。乍看之下，这个问题类似于概率与统计中所谓的辛普森悖论。本文中当我们说密度时，指的是自然密度。