差分隐私中的最优机制：多维情形

我们在效用最大化（或成本最小化）框架下，针对 $\ell^1$ 成本函数，推导了一般二维实值（直方图类）查询函数的最优 $\epsilon$-差分隐私机制。我们证明了最优噪声概率分布具有相关的多维阶梯形概率密度函数。与拉普拉斯机制相比，我们表明在高隐私机制下（当 $\epsilon \to 0$ 时），拉普拉斯机制是近似最优的；而在低隐私机制下（当 $\epsilon \to +\infty$ 时），最优成本为 $\Theta(e^{-\frac{\epsilon}{3}})$，而拉普拉斯机制的成本为 $\frac{2\Delta}{\epsilon}$，其中 $\Delta$ 是查询函数的敏感度。我们得出结论，增益在低隐私机制下更为显著。我们猜想，阶梯机制的最优性适用于任意维度的向量值（直方图类）查询函数，同时也适用于许多其他类别的成本函数。