差分隐私中的最优机制

我们在一个非常通用的效用最大化（或成本最小化）框架下，推导了针对单个实值查询函数的最优 $\epsilon$-差分隐私机制。最优机制中的噪声概率分布类具有{\em 阶梯状}概率密度函数，其关于原点对称、单调递减且呈几何衰减。阶梯机制可视为均匀概率分布的{\em 几何混合}，为该机制提供了简单的算法描述。此外，阶梯机制自然地推广至离散查询输出设置以及更抽象的设置中。我们明确推导了具有最小噪声幅度期望和最小噪声功率的最优噪声概率分布。通过将最优性能与 Laplacian 机制的性能进行比较，我们表明：在高隐私制度（$\epsilon$ 较小）下，当 $\epsilon \to 0$ 时 Laplacian 机制是渐近最优的；在低隐私制度（$\epsilon$ 较大）下，最小噪声幅度期望和最小噪声功率分别为 $\Theta(\Delta e^{-\frac{\epsilon}{2}})$ 和 $\Theta(\Delta^2 e^{-\frac{2\epsilon}{3}})$（当 $\epsilon \to +\infty$），而使用 Laplacian 机制的噪声幅度期望和功率分别为 $\frac{\Delta}{\epsilon}$ 和 $\frac{2\Delta^2}{\epsilon^2}$，其中 $\Delta$ 为查询函数的敏感度。我们得出结论，增益在低隐私制度下更为显著。