论差分隐私的几何结构

我们考虑在用户非自适应地提出$d$个线性查询$f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$的设定下，差分隐私机制的噪声复杂度。这里，数据库由$\mathbb{R}^n$中的一个向量表示，数据库之间的邻近度用$\ell_1$度量衡量。我们表明，噪声复杂度由查询集的两个几何参数决定。我们利用这一联系，对任意$d \leq n$给出了噪声复杂度的紧的上界和下界。我们证明，对于灵敏度为1的$d$个随机线性查询，为了实现$\epsilon$-差分隐私，需要且仅需要添加$\ell_2$误差$\Theta(\min\{d\sqrt{d}/\epsilon,d\sqrt{\log (n/d)}/\epsilon\})$。假设凸几何中一个深刻的猜想（即超平面猜想）成立，我们可以将结果推广到任意线性查询，并给出几乎匹配的上界和下界。我们的界转化为每个答案的误差为$O(\min\{d/\epsilon,\sqrt{d\log(n/d)}/\epsilon\})$。先前最好的上界（拉普拉斯机制）给出的每个答案的界为$O(\min\{d/\epsilon,\sqrt{n}/\epsilon\})$，而先前已知的最佳下界为$\Omega(\sqrt{d}/\epsilon)$。相比之下，我们的下界足够强，能够区分差分隐私的概念与近似差分隐私的概念，后者可以实现$O(\sqrt{d}/\epsilon)$的上界。