指纹编码与近似差分隐私的代价

我们展示了针对能够准确回答大量计数查询集的 $(\varepsilon, \delta)$-差分隐私算法，其样本复杂性的新下界。数据库 $D \in (\{0,1\}^d)^n$ 上的计数查询形式为：“数据库中满足属性 $q$ 的个体记录占比是多少？”我们表明，为了在误差 $\pm \alpha$ 范围内回答 $D$ 上任意一组 $\gg nd$ 的计数查询集 $\mathcal{Q}$，必须满足 $$n \geq \tilde{\Omega}\Bigg(\frac{\sqrt{d} \log |\mathcal{Q}|}{\alpha^2 \varepsilon} \Bigg).$$ 正如 Private Multiplicative Weights 算法 (Hardt and Rothblum, FOCS'10) 所证明的那样，该界限在多项式对数因子内是最优的。特别是，我们的下界首次表明，实现准确性和 $(\varepsilon, \delta)$-差分隐私所需的样本复杂度渐近大于仅实现准确性所需的复杂度，后者为 $O(\log |\mathcal{Q}| / \alpha^2)$。此外，我们证明了当 $\alpha$ 与 $d$ 相比不太小时（例如当 $\alpha$ 为任意固定常数时），我们的下界适用于 $k$-路边缘查询的具体情况（其中 $|\mathcal{Q}| = 2^k \binom{d}{k}$）。我们的结果依赖于短\emph{指纹编码}的存在 (Boneh and Shaw, CRYPTO'95, Tardos, STOC'03)，我们证明了它与差分隐私数据发布的样本复杂度密切相关。我们还提出了一种新方法，可将某些类型的样本复杂度下界组合成更强的下界。