源于弱叛徒追踪的差分隐私强硬度

尽管已有大量研究，差分隐私的计算复杂度仍缺乏深入理解。在本文中，我们考虑在差分隐私下，精确回答数据域 $X$ 上一族统计查询 $Q$ 的计算复杂度。对数据集 $D \in X^n$ 的统计查询询问“$D$ 中满足 $X$ 上给定谓词 $p$ 的元素比例是多少？”Dwork 等人 (STOC'09) 与 Boneh 和 Zhandry (CRYPTO'14) 证明了，若 $Q$ 和 $X$ 均为多项式大小，则存在高效的差分隐私算法能精确回答所有查询；若 $Q$ 和 $X$ 均为指数大小，则在一种合理的假设下，不存在高效算法。我们证明，在同一假设下，若查询数量或数据域之一为指数大小，且另一个大小至少为 $\tilde{O}(n^7)$，则不存在能回答所有查询的差分隐私算法。在两种情况下，该结果在数量上几乎是紧的，因为存在一种高效的差分隐私算法能在指数大小的数据域上回答 $\tilde{\Omega}(n^2)$ 个查询，也存在一种能在大小为 $\tilde{\Omega}(n^2)$ 的数据域上回答指数级多查询的算法。我们的证明基于差分隐私硬度结果与叛徒追踪方案之间的联系 (Dwork 等人, STOC'09; Ullman, STOC'13)。我们通过证明其源于一种具有极短密文（或密钥）但安全性保证极弱的特殊叛徒追踪方案的存在性，随后构造此类方案，从而证明了针对多项式大小查询集（或数据域）的硬度结果。