差分隐私中选择的代价

在差分隐私top-$k$选择问题中，给定数据集 $X \in \{\pm 1\}^{n \times d}$，其中每一行属于一个个体，每一列对应某个二元属性，我们的目标是找到一组 $k \ll d$ 列，其均值尽可能大。差分隐私要求我们对这 $k$ 列的选择不能过度依赖于任何一个体的数据集。该问题可利用著名的指数机制以及差分隐私的组合性质求解。在高精度机制下，要求我们选择过程的误差小于所谓的采样误差 $\alpha \approx \sqrt{\ln(d)/n}$，此过程在给定大小为 $n \gtrsim k \ln(d)$ 的数据集时成功。我们证明了一个匹配的下界，表明在该高精度机制下，私有top-$k$选择必要的数据集大小为 $n \gtrsim k \ln(d)$。我们的下界首次表明，选择 $k$ 个最大列比仅估计这 $k$ 列的值需要更多数据，而后者仅需大小为 $n \gtrsim k$ 的数据集即可完成。