差分隐私的几何学：稀疏与近似情形

在本工作中，我们研究了直方图上线性查询背景下准确性与隐私性之间的权衡。这是一类丰富的查询，包括列联表和范围查询，长期以来一直是研究焦点。对于数据库 $x \in \R^N$ 上的一组 $d$ 个线性查询，我们寻求找到具有最小均方误差的差分隐私机制。对于纯差分隐私，已知存在一种对最优机制的 $O(\log^2 d)$ 近似。我们的第一个贡献是为 $(\eps,\delta)$-差分隐私情形提供了 $O(\log^2 d)$ 的近似保证。我们的机制简单、高效，并向答案中添加相关的高斯噪声。我们利用凸几何工具，证明了其相对于 Muthukrishnan 和 Nikolov 的遗传差异下界的近似保证。接下来，我们考虑查询数量超过数据库中个体数量的情形，即 $d > n \triangleq \|x\|_1$。已知在此设定下存在更好的机制。我们的第二个主要贡献是提出了一种 $(\eps,\delta)$-差分隐私机制，对于任何给定的查询集 $A$ 和任何给定的 $\|x\|_1$ 上界 $n$，该机制在 $\polylog(d,N)$ 因子内是最优的。这种近似是通过将高斯噪声添加方法与线性回归步骤相结合而实现的。我们也给出了 $\eps$-差分隐私设定下的类似结果。我们还改进了 Blum、Ligett 和 Roth 提出的在大小为 $n$ 的数据库上回答计数查询的均方误差上界，并在对数因子范围内匹配了 Dinur 和 Nissim 工作所隐含的下界。遗传差异与隐私机制之间的联系使我们能够推导出矩阵 $A$ 的遗传差异的首个多对数近似。