到 $SL(n,\mathbb{C}_\omega)$ 的表示的 $\omega$-Borel 不变量

设 $\Gamma$ 是一个具有环面尖点的完备双曲 $3$-流形 $M$ 的基本群。我们定义与表示 $\rho_\omega: \Gamma \rightarrow SL(n,\mathbb{C}_\omega)$ 相关联的 $\omega$-Borel 不变量 $\beta_n^\omega(\rho_\omega)$，其中 $\mathbb{C}_\omega$ 是一个域，可构造为 $\mathbb{C}^\mathbb{N}$ 的一个合适子集在 $\mathbb{N}$ 上的一个非主超滤子 $\omega$ 和一个满足 $\lambda_l \geq 1$ 的实发散序列 $\lambda_l$ 的数据下的商。由于一列到 $SL(n,\mathbb{C})$ 的 $\omega$-有界表示 $\rho_l$ 决定一个到 $SL(n,\mathbb{C}_\omega)$ 的表示 $\rho_\omega$，对于 $n=2$，我们研究了不变量 $\beta^\omega_2(\rho_\omega)$ 与 Borel 不变量序列 $\beta_2(\rho_l)$ 之间的关系。我们最后证明，如果一列表示 $\rho_l:\Gamma \rightarrow SL(2,\mathbb{C})$ 诱导出一个表示 $\rho_\omega:\Gamma \rightarrow SL(2,\mathbb{C}_\omega)$，该表示决定了在渐近锥 $C_\omega(\mathbb{H}^3,d/\lambda_l,O)$ 上具有非平凡长度函数的可约作用，那么 $\beta^\omega_2(\rho_\omega)=0$ 成立。