Wilf 分划对合的不动点数目

Wilf 分划是指整数 $n$ 的分划，其中所有非零重数互不相同。已故 Herbert Wilf 在其网页上提出了寻找关于此类分划数目 f(n) 的“任何有趣定理”的问题。最近，Fill、Janson 和 Ward（以及独立的 Kane 和 Rhoades）确定了 $\log f(n)$ 的渐近公式。由于研究 Wilf 分划的最初动机在于交换部分大小和重数的操作是 Wilf 分划集合上的一个对合，他们提到一个开放问题，即确定该对合的不动点数目的类似渐近公式，我们将其记为 F(n)。在这篇简短注记中，我们展示了 Fill、Janson 和 Ward 的方法同样适用于 F(n)。具体而言，我们获得了渐近公式 $\log F(n) \sim \frac12 \log f(n)$。