刚性图的等价实现数

给定图 $G$ 在 ${\mathbb R}^2$ 中的刚性实现，确定与给定实现具有相同边长且两两不合同的实现的最大数量是一个开放问题。该问题可重新表述为求解相关二次方程组的解的个数，在此背景下，考虑 ${\mathbb C}^2$ 而非 ${\mathbb R}^2$ 中的解的个数是很自然的。我们证明了复解的个数 $c(G)$ 对于刚性图 $G$ 的所有一般实现是相同的，刻画了满足 $c(G)=1$ 的图 $G$，并证明了确定 $c(G)$ 的问题可归约为 $G$ 是 $3$-连通且无非平凡 $3$-边割的情形。我们考察了 Henneberg 移动与顶点分裂操作对 $c(G)$ 的影响。我们利用所得结果精确确定了两个重要图族的 $c(G)$，并证明了这两个图族中的图均具有 $c(G)$ 个两两等价的一般实实现。我们还证明了每个具有 $n$ 个顶点的平面等静定图至少具有 $2^{n-3}$ 个两两等价的一般实实现。