谁需要交叉？：非交叉链轮为通用，且决定（全局）刚性困难

我们精确地确定了图形实现、图形刚性和图形全局刚性的复杂性，用于三种类型的图："全局非交叉"图，这些图在所有配置中避免交叉；匹配棍图，具有单位长度边且仅考虑非交叉配置；以及不受限制的图（允许交叉），边长为单位（在全局刚性情况下，边长为 $\{1,2\}$）。我们显示，所有九个问题都属于 $\exists\mathbb{R}$ 类，定义为实数的存在论理，或其补集 $\forall\mathbb{R}$；特别是每个问题都是 (co)NP-hard 的。其中一个九个结果——即单位距离图的实现是 $\exists\mathbb{R}$-complete——之前由 Schaefer (2013) 已知，但其余八个是新的。我们加强了几个先前的结果。匹配棍图实现已知是 NP-hard (Eades \& Wormald 1990, 或 Cabello et al. 2007)，但其在 NP 中的成员性质一直是未知的；我们显示它属于 (可能更大的) $\exists\mathbb{R}$ 类。具有 $\{1,2\}$ 边长的图的全局刚性已知是 coNP-hard (Saxe 1979)；我们显示它是 $\forall\mathbb{R}$-complete。本文的大部分工作用于证明 Kempe 的通用性定理的一个类比——口语化地说，"有一种链轮可以为你写字"——针对全局非交叉链轮。在 particular，我们显示，平面上可以由非交叉链轮描绘的区域正好是紧致半代数区域（加上平整平面的平凡情况）。因此，没有损失绘制能力。我们也为匹配棍链轮和单位距离链轮证明了类似的结果。