Penny 图和 Marble 图的识别是 Existential Theory of the Reals 的难题

我们证明了 penny 图（平面上单位圆接触图）的识别问题是 $\exists\mathbb{R}$-完整的，即即使给定了图的组合平面嵌入，其计算复杂度也与实数存在论等价。 penny 图识别问题的精确复杂度长期以来是一个开放问题。我们将 penny 图结果推广到三维，证明 marble 图（三维单位球接触图）的识别问题也是 $\exists\mathbb{R}$-完整的。最后，我们证明 penny 图的刚性是 $\forall\mathbb{R}$-完整的，并考察了 penny 图的网格嵌入（树形结构）。