自由随机变量的乘积范数

设 $X_i$ 表示自由同分布的随机变量。本文研究当 $n$ 趋于无穷时乘积 $\Pi_n=X_1 X_2 ... X_n$ 的范数行为。此外，对正的 $X_i$，研究 $Y_n=X_1 \circ X_2 \circ ...\circ X_n$ 的范数的渐近行为，其中 $\circ$ 表示两个正算子的对称积：$A \circ B=:A^{1/2}BA^{1/2}$。证明了若 $X_i$ 的期望为 1，则对称积 $Y_{n}$ 的范数介于 $c_1 n^{1/2}$ 与 $c_2 n$ 之间，其中 $c_1$、$c_2$ 为某常数。即范数增长至多为线性。对通常乘积 $Pi_n$ 的范数，证明了极限 $n^{-1}\log Norm(Pi_n)$ 存在且等于 $\log \sqrt{E(X_i^{\ast}X_{i})}$。换言之，乘积范数呈指数增长，其速率等于算子 X 的 Hilbert-Schmidt 范数的对数。最后，若 $\pi$ 是由 $X_i$ 生成的代数的一个循环表示，且 $\xi$ 是一个循环向量，则对所有 $n$ 有 $n^{-1}\log Norm(\pi (\Pi_{n}) \xi)=\log \sqrt{E(X_{i}^{\ast}X_{i})}$。换言之，循环向量的长度呈指数增长，其速率与乘积范数增长的速率一致。这些结果明显不同于交换随机变量的类似结果，并推广了 Kesten 与 Furstenberg 导出的随机矩阵结果。