随机正算子乘积的遍历行为

本文致力于研究形如 $M_{0,n}=M_0\cdots M_{n-1}$ 的随机算子乘积，其中 $(M_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ 是空间 $\mathbb{X}$ 上符号测度空间上正算子的遍历序列。在适当的条件下，特别是适用于非保守算子的 Doeblin 型下界条件，我们获得了如下形式的渐近结果：$$\mu M_{0,n} \simeq \mu(\tilde{h}) r_n \pi_n,$$ 其中 $\tilde{h}$ 是一个随机有界函数，$(r_n)_{n\geq 0}$ 是一个随机非负序列，$\pi_n$ 是 $\mathbb{X}$ 上的一个随机概率测度。此外，$\tilde{h}$、$(r_n)$ 和 $\pi_n$ 不依赖于测度 $\mu$ 的选取。我们进一步证明了 $n^{-1} \log (r_n)$ 几乎必然收敛于过程 $(M_{0,n})_{n\geq 0}$ 的 Lyapunov 指数 $\lambda$，并且随机概率测度序列 $(\pi_n)$ 弱收敛于一个随机概率测度。这些结果类似于 Hennion 先前在 $d\times d$ 矩阵情形下得到的估计，但其采用了不同的技术，即基于 Hilbert 度量中的射影压缩。在序列 $(M_n)$ 为 i.i.d. 的情形下，我们进一步给出了 Lyapunov 指数 $\lambda$ 关于随机概率测度序列 $(\pi_n)$ 弱极限的积分表达式，并展示了当 $\lambda=0$ 时 $r_n$ 的振荡行为。我们将我们的假设与 Hennion 的假设进行了详细比较，并给出了结果应用的一些示例，特别是在种群动力学领域。